この問題は、アナログ時計における時刻と針の角度の関係を利用して解くことができます。

まず、長針と短針の角度について考えます。

1. 短針の角度：5時からの短針の角度は、5時を0度として扱い、時刻が進むとともに動きます。短針は1時間で30度進むので、5時からx分進むと $\frac{x}{2}$ 度進みます。したがって、短針の角度は $150 + \frac{x}{2}$ 度です（150度は5時の位置）。

2. 長針の角度：長針は1分で6度進むので、x分では $6x$ 度進みます。

3. 秒針の角度：秒針は1秒で6度（60秒で一周360度）進むので、y秒では $6y$ 度進みます。

このとき、秒針が長針と短針の作る角の二等分線になるという条件を式で表すと、

$$6y = \frac{(150 + \frac{x}{2}) + (6x)}{2}$$

これを整理します。

まず、長針と短針の角度はそれぞれ

• 短針：$150 + \frac{x}{2}$ 度
• 長針：$6x$ 度

二等分線の角度になる条件は、

$$6y = \frac{(150 + \frac{x}{2}) + 6x}{2}$$ $$6y = \frac{150 + \frac{x}{2} + 6x}{2}$$ $$6y = \frac{150 + \frac{13x}{2}}{2}$$ $$6y = \frac{300 + 13x}{4}$$ $$24y = 300 + 13x$$

今回は5時から5時0分30秒の間を考えるので、0 ≤ y ≤ 30です。

この式を解くと、

$$24y - 13x = 300$$

色々なxを代入してyが0以上30以下になっているかを確認しましょう。

例えば、x = 16を代入してみます。

$$24y - 13(16) = 300$$ $$24y - 208 = 300$$ $$24y = 508$$ $$y = \frac{508}{24} = \frac{254}{12} = \frac{127}{6} \approx 21.1667$$

よって解は $(5 \, \text{時} \, 16 \, \frac{127}{6} \, \text{秒})$となります。このとき、yは30以下なので条件を満たしていることが確認できます。

はい、面白い問題ですね。数学を使わずに、小学生でも理解できるように解説します。

まず、5時から5時0分30秒までの間に注目しましょう。この間、短針は5と6の間にあり、ほとんど動きません。一方、長針は5からスタートし、6に向かって動いていきます。

次に、短針と長針が作る角度について考えてみましょう。5時のとき、この角度は30度です。これは、1時間が30度に相当するためです。5時0分30秒のとき、長針は6の方向に少し移動しているため、角度は30度よりも少し大きくなります。

ここで、秒針に注目します。秒針は1周を60秒で回ります。つまり、60秒で360度回ることになります。したがって、1秒で6度回ります。

秒針が短針と長針の角度の二等分線になるためには、30秒経過したときが適しています。なぜなら、30秒で180度回るからです。このとき、長針は5時0分15秒を指しています。

以上より、求める時刻は5時0分15秒です。分数で表すと、5 1/4 時となります。

はい、皆さんこんにちは！中学受験塾の算数の先生だよ。今日はちょっと面白い時計の問題に挑戦してみましょう！

【問題】

長針、短針、秒針がなめらかに動く時計がある。この時計が5時から5時0分30秒の間に、秒針がちょうど、長針と短針が作る角の二等分線となるような時刻を求めよ（分数で答えなさい）。

【解説】

まず、時計の針の動く速さを確認しておきましょう。

• 秒針：1秒で6度動く（360度 ÷ 60秒 = 6度/秒）
• 長針：1秒で1/10度動く（360度 ÷ 60分 ÷ 60秒 = 1/10度/秒）
• 短針：1秒で1/120度動く（360度 ÷ 12時間 ÷ 60分 ÷ 60秒 = 1/120度/秒）

次に、5時のときの長針と短針の位置関係を考えます。長針は12を、短針は5を指していますね。このときの角度は150度です（360度 ÷ 12 × 5 = 150度）。

さて、問題の条件を満たすためには、秒針が長針と短針のちょうど真ん中に来なければなりません。つまり、長針と秒針の角度、短針と秒針の角度が等しくなる瞬間を探すわけです。

ここで、5時ちょうどからの経過秒数を $x$ 秒としましょう。

• $x$ 秒後の長針と短針の角度は、150度 + $x$ 秒 × (1/10 - 1/120) 度/秒 = 150 + 11$x$/120 度
• $x$ 秒後の長針と秒針の角度は、$x$ 秒 × (6 - 1/10) 度/秒 = 59$x$/10 度
• $x$ 秒後の短針と秒針の角度は、$x$ 秒 × (6 - 1/120) 度/秒 = 719$x$/120 度

長針と秒針の角度と、短針と秒針の角度が等しいので、

59$x$/10 = 719$x$/120

という式が成り立ちます。これを解くと、

$x$ = 7190/649

となります。

よって、求める時刻は、5時と5時30秒の間なので、

5時$\frac{7190}{649}$秒

と表せます。

【答え】

5時$\frac{7190}{649}$秒

はい、この問題を小学生向けに解説していきましょう。

【解き方】

1. まず、問題の条件を整理します。

   • 時刻は5時から5時0分30秒の間
   • 秒針が長針と短針の作る角の二等分線上にある

2. 5時のときの針の位置を確認します。

   • 短針は5を指し、150度の位置
   • 長針は12を指し、0度の位置
   • よって、長針と短針の角度は150度

3. 30秒の間の各針の動きを計算します。

   • 短針：30秒で0.25度動く（1時間で30度なので）
   • 長針：30秒で3度動く（1分で6度なので）
   • 秒針：30秒で180度動く（1秒で6度なので）

4. 秒針が二等分線上にあるとき：

   • 長針と短針の角度をθとすると
   • 秒針は長針から θ/2 度の位置にある

5. t秒後の各針の角度を表すと：

   • 短針：150 + 0.00833t度
   • 長針：0 + 0.1t度
   • 秒針：0 + 6t度

6. 二等分線の条件から方程式を立てます： 6t = (150 + 0.00833t - (0 + 0.1t))/2 6t = (150 - 0.09167t)/2 12t = 150 - 0.09167t 12.09167t = 150 t = 12.4秒

7. 確認：

   • t = 12.4秒のとき
   • 短針：150.103度
   • 長針：1.24度
   • 秒針：74.4度
   • これは長針と短針の角度の二等分線上

したがって、答えは5時0分12.4秒、つまり5 25/121時です。

回答：5 25/121

この解き方は、角度の変化に着目して、方程式を立てて解くという方法です。小学生には少し難しい部分もありますが、図を描きながら説明すると理解しやすくなります。

この問題を解くために、時計の針の動きと角度の関係を理解する必要があります。

基本的な理解

• 長針 (分針): 1分間に360度回転します。つまり、1秒間に6度回転します。
• 短針 (時針): 1時間（60分）に360度回転します。つまり、1分間に6度、1秒間に0.1度回転します。
• 秒針: 1分間に360度回転します。つまり、1秒間に6度回転します。

問題の設定

• 時計が5時から5時0分30秒の間に、秒針が長針と短針が作る角の二等分線となるような時刻を求めます。

解法

1. 初期位置の確認

   • 5時00分00秒のとき、長針は12時方向を指し、短針は5時方向を指しています。秒針は12時方向を指しています。

2. 角度の計算

   • 5時00分00秒のとき、長針と短針の間の角度は $150^\circ$ です（12時から5時までの差）。

3. 二等分線の角度

   • この角度の二等分線は、$\frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$ です。

4. 秒針の位置

   • 秒針がこの二等分線上にあるためには、秒針が12時から75度進んだ位置にいる必要があります。
   • 秒針は1秒間に6度進むので、75度進むには $\frac{75}{6} = 12.5$ 秒かかります。

結論

• したがって、秒針がちょうど長針と短針が作る角の二等分線上にある時刻は、5時0分12.5秒です。

分数で答える

• したがって、答えは 12.5秒 です。

この問題では、特定の時刻に各針がどの位置にあるかを計算し、その位置から必要な角度を満たす秒数を求めることで解決しました。

時計の問題ですね。5時から5時0分30秒の間に、秒針が長針と短針の作る角の二等分線になる時刻を求めましょう。

まず、時計の針の動きを考えます。

**短針（時針）**は12時間で一周（360度）しますから、1時間で30度進みます。つまり、1秒間に$\frac{30}{3600} = \frac{1}{120}$度進みます。

**長針（分針）**は60分で一周（360度）しますから、1分間で6度進みます。つまり、1秒間に0.1度進みます。

秒針は60秒で一周（360度）しますから、1秒間に6度進みます。

時刻を5時からの経過秒数を$t$秒とします（$0 \leq t \leq 30$）。

各針の角度を計算します。

• 短針の角度（度）: $\theta_h = 150 + \frac{1}{120}t$
• 長針の角度（度）: $\theta_m = 0.1t$
• 秒針の角度（度）: $\theta_s = 6t$

次に、長針と短針の間の角度を求めます。

$$\delta = \theta_h - \theta_m = \left(150 + \frac{1}{120}t\right) - 0.1t = 150 + \left(\frac{1}{120} - 0.1\right)t = 150 - \frac{11}{120}t$$

角の二等分線は長針と短針の角度の平均になります。

$$\theta_b = \frac{\theta_h + \theta_m}{2} = \frac{150 + \frac{1}{120}t + 0.1t}{2} = \frac{150 + \left(\frac{1}{120} + 0.1\right)t}{2} = \frac{150 + \frac{13}{120}t}{2}$$

秒針がこの角度にあるとき、

$$\theta_s = \theta_b$$

これを方程式にします。

$$6t = \frac{150 + \frac{13}{120}t}{2}$$

両辺に2をかけて、

$$12t = 150 + \frac{13}{120}t$$

両辺から$\frac{13}{120}t$を引いて、

$$12t - \frac{13}{120}t = 150$$

左辺を計算します。

$$\left(12 - \frac{13}{120}\right)t = 150 \\ \left(\frac{1440}{120} - \frac{13}{120}\right)t = 150 \\ \frac{1427}{120}t = 150$$

両辺を$\frac{120}{1427}$をかけて、

$$t = \frac{150 \times 120}{1427} = \frac{18000}{1427}\ \text{秒}$$

したがって、求める時刻は

$$t = \frac{18000}{1427}\ \text{秒}$$

答え： $\dfrac{18000}{1427}$ 秒後